Black一 Scholes模型與二叉樹模型的演變、進(jìn)一步推廣在BlackScholes模型提出以后,許多學(xué)者對(duì)該模型的進(jìn)一步推廣作出了重大貢獻(xiàn).Black一Scholes模型的基本形式只適用于無股利支付股票的歐式期權(quán),顯然實(shí)際交易的期權(quán)的標(biāo)的物不會(huì)受到這些約束.Black(1975年)提出,如果能夠假定整個(gè)期權(quán)持有期的股利可知,則股利支付股票的歐式期權(quán)很容易被定價(jià),這只要從股價(jià)中減去整個(gè)期權(quán)持有期的股利現(xiàn)值,并且把這個(gè)調(diào)整后的期權(quán)價(jià)格代入Black一 Scholes公式便可. Merton( 1973年)采用將股利表示為連續(xù)復(fù)利的方法,給出了Black Scholes公式的另外一種形式. Merton的連續(xù)復(fù)利模型為外匯期權(quán)定價(jià)提供了一個(gè)基本構(gòu)架.用外幣的利率替換連續(xù)復(fù)利,即期匯率替代標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格,而波動(dòng)率就是匯率的波動(dòng)率,這樣就得到了外幣的歐式期權(quán)定價(jià)公式.適用于外幣期權(quán)的Black Scholes模型通常稱為Garman Kohlhagen模型.
William Margrabe( 1978年)提出了一個(gè)模型可以用于對(duì)兩種資產(chǎn)按約定價(jià)格交換的權(quán)利進(jìn)行定價(jià).盡管這種被稱為交換期權(quán)的產(chǎn)品在期權(quán)市場(chǎng)上并沒有出現(xiàn)過,但由于它是資產(chǎn)、現(xiàn)金與另一種資產(chǎn)的相互交換期權(quán),因此被認(rèn)為是Black一Scholes模型的廣義形式. Robert Geske(1979年)又發(fā)展了一種以期權(quán)定價(jià)期權(quán)的模型，換言之,不僅衍生產(chǎn)品本身是一種期權(quán),標(biāo)的資產(chǎn)也不是一般意義下的資產(chǎn)而是期權(quán),這種被Geske定義為復(fù)式期權(quán)的衍生產(chǎn)品在期權(quán)市場(chǎng)上也沒有出現(xiàn)過.但是就像Black和Scholes在他們的最初論文中所討論的那樣,普通股本身也是一種由公司債權(quán)人所發(fā)行的、以公司資產(chǎn)為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)，股東是期權(quán)的買入者,因此任何一個(gè)有負(fù)債公司的股票期權(quán)就可以理解為復(fù)式期權(quán).更為重要的是,復(fù)式期權(quán)的計(jì)算公式為其他期權(quán)的定價(jià)提供了可參.考的途徑.例如,美式看漲期權(quán)的定價(jià)是一個(gè)特別難解決的問題,股票除息前支付股利的美式看漲期權(quán)有可能被提前執(zhí)行. Roll(1977年)使用Geske模型得出了美式看漲期權(quán)的封閉解.此后,Geske(1979年)和Whaley(1981年)對(duì)Roll 理論做了進(jìn)一步的改進(jìn),使該公式更趨完善,這一模型就被稱為Roll一 Geske Whaley模型.另外一個(gè)例子是美式看跌期權(quán),因?yàn)樵谌魏螘r(shí)候美式看跌期權(quán)
都可能被提前執(zhí)行,這種期權(quán)也難以找到封閉解.Geske和John一son(1984年)發(fā)現(xiàn),通過一系列復(fù)式期權(quán)可以求出它的封閉解,但因?yàn)樗幸粋�(gè)無窮數(shù)項(xiàng),因此計(jì)算較復(fù)雜.
Merton(1976年)提出了跳躍過程模型, Black Scholes模型的研究都是建立在股價(jià)波動(dòng)平穩(wěn)基礎(chǔ)之上的,但股票價(jià)格起伏不定,假如不能夠進(jìn)行套期保值的話,這樣波動(dòng)不定的風(fēng)險(xiǎn)非常大。Merton認(rèn)為這些波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)可被視為分散化的風(fēng)險(xiǎn),因此我們能夠忽略它的風(fēng)險(xiǎn)貼水,從而得到一個(gè)跳躍波動(dòng)率的期權(quán)定價(jià)模型.Jhon Cox(1975年)的定常彈性方差模型(Constant Elasticity ofVariance Model)給出了當(dāng)波動(dòng)率隨股價(jià)的下跌而增加時(shí)怎樣定價(jià)股票權(quán).雖然目前這一模型使用不多,但它的深遠(yuǎn)意義就在于第一次嘗試著在期權(quán)定價(jià)模型中體現(xiàn)出波動(dòng)率的變化1982年期權(quán)定價(jià)的研究取得了新的進(jìn)展. Stulz設(shè)計(jì)了一種根據(jù)兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的較大或較小值確定的期權(quán),這種期權(quán)的損益由期權(quán)到期時(shí)兩種標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值的較大者或者較小者決定,到期以后就像普通期權(quán)一樣進(jìn)行標(biāo)的資產(chǎn)的買賣,并對(duì)期權(quán)進(jìn)行清算.這種期權(quán)在理論上提出了10年以后才在市場(chǎng)上出現(xiàn).因?yàn)橐恍┩顿Y經(jīng)理更愿意對(duì)兩個(gè)市場(chǎng)中表現(xiàn)較好的市場(chǎng)指數(shù)的看漲期權(quán)進(jìn)行投資,而不是同時(shí)購(gòu)買這兩種指數(shù)的期權(quán)或直接在兩個(gè)市場(chǎng)上進(jìn)行投資,基于兩種資產(chǎn)的期權(quán)就可以滿足市場(chǎng)的需求。Black Scholes模型的另外一個(gè)擴(kuò)展是考慮違約情況.雖然期權(quán)交易的購(gòu)買者沒有必要為違約問題而擔(dān)心,但場(chǎng)外交易市場(chǎng)存在這個(gè)問題. Johnson和Stulz(1987年)給出了在到期日前可能被違約的期權(quán)定價(jià)公式.Rich(1996年)的研究表明,BlackScholes模型經(jīng)適當(dāng)調(diào)整以后可以用來對(duì)發(fā)行人由于破產(chǎn)問題導(dǎo)致違約的期權(quán)定價(jià)問題。
Black Scholes模型的進(jìn)一步擴(kuò) 展與對(duì)交易成本和市場(chǎng)完備性的研究也是分不開的.期權(quán)定價(jià)理論假定交易能夠連續(xù)發(fā)生,該假設(shè)要求沒有交易成本.但顯而易見,實(shí)際情況總是違背這個(gè)假設(shè)條件的.如果帶有任何交易成本，該連續(xù)交易都會(huì)導(dǎo)致無限的費(fèi)用.而若交易不連續(xù)發(fā)生,則連續(xù)復(fù)制不能實(shí)現(xiàn),期權(quán)定價(jià)公式也就不能得到.同時(shí)在不完備市場(chǎng)下,比如限制賣空、存貸利率不同衍生產(chǎn)品的定價(jià)也肯定不同.這方面的研究文獻(xiàn)有Lelard(1985年), Musiela和Rutkowski(1997 年).這些領(lǐng)域的研究都極有意義,它使理論模型與含有不連續(xù)交易、交易成本、市場(chǎng)不完備的真
實(shí)情況更趨近一致.
