考慮最簡單的一維隨機游動,即對象每個單位時間等概率地向左或向右走一個單位(在以后的分析中,我們有時會假設(shè)股票的價格服從這樣的運動，上漲或下跌某一個幅度).設(shè)對象每隔Ot時間等概率地向左或向右走一步,步長為Or,在初始時刻處于原點位置,那么若X,表示對象第i步時的方向,則X,是隨機變量;若第i步向右,則記X,= 1,否則X,=-1.再記X(!)表示時刻t的位置,顯然當(dāng)t=△1時,X(O1)= XOx.一般地,有X(l) = Or(X.+..+ X(vx1).

 

   在隨機游動的假設(shè)下X, 之間相互獨立,若P{X.= 1} = PIX.=- 1|= 1/2,則E(X;) = 0, var(X;) = E(X}) = 1.由(1.1)式可知E[X(1)]= 0, var[X(l)]= (Ox)[t/Nt].現(xiàn)在我們考慮Or和Ot趨于0的情況.第一種情況是:Or∞Ot,即Ox與Ot以同樣的速度趨于0,再令Ot→0,則E[X(t)]=0, var[X(t)]→0,即X(t)以概率1等于0.第二種情況是: Or∞c VOi, 這樣var[X(l)]→∞,這樣，在很短的時間內(nèi)對象可能運動到無窮遠處.這兩種情況都與實際不符.因此,最合理的假設(shè)是Or=c VOt或(Ox)2 =c°Ot,這時var[X(t)]→ct.由于X,是獨立同分布,因此由中心極限定理可知,X(t)服從正態(tài)分布,更進一步地，服從N(0, ct).

   隨機過程{X(t): t≥0}稱為Brown運動,如果它滿足如下的條件:

 

   (1) X(0) = 0(如果X(0)不在原點處,這個條件可以通過平移得到);

   (2)隨機過程有平穩(wěn)獨立增量;

   (3)對每個t>0, X(t)~ N(0, c*t).如果c=1,我們稱為標(biāo)準Brown運動,對于非標(biāo)準Brown運動,我們可以通過X'(t) = [X(t)- X(0)]/c變換得到。